样本选择与 Heckman 模型：排除变量比两步法本身重要

“用 Heckman 两步法缓解样本选择偏误”大概是国内实证论文里最常见的一句稳健性说明。这篇记它到底在解决什么问题，什么时候能用，以及它靠什么才站得住。

什么情况才算样本选择问题

Heckman 模型处理的是结果变量只在一部分观测上可见，并且可见与否和不可观测的因素有关：

工资只对有工作的人可见，是否工作又取决于不可观测的能力、保留工资；
企业的研发投入、环境信息披露得分，只有选择披露的企业才有数；
企业只有活下来，才有后续几年的业绩。

下面两种情况看上去相似，其实不是：

处理分配不随机。 某项政策只在一部分城市试点，试点城市是挑出来的。这时每个城市的结果变量都有取值，缺的是“没试点会怎样”的反事实，这是内生性问题，要靠 PSM、DID、工具变量等方法，不是 heckman 命令的用武之地。
结果变量是真实的零。 企业研发投入为零是一个真实的取值，不是缺失。把零当缺失去做 Heckman，改变了研究的总体；这类角点解更常见的处理是 Tobit、两部分模型或泊松伪极大似然（ppmlhdfe）。

模型

结果方程和选择方程：

y_i = x_i'\beta + \varepsilon_i,\qquad s_i = \mathbf{1}\{z_i'\gamma + u_i > 0\}

只有 $s_i = 1$ 时才能看到 $y_i$ 。假设 $(\varepsilon_i, u_i)$ 联合正态， $\operatorname{Var}(u_i)=1$ ， $\operatorname{Cov}(\varepsilon_i,u_i)=\rho\sigma$ 。于是在可见的样本里：

\E[y_i \mid x_i, z_i, s_i = 1] = x_i'\beta + \rho\sigma\,\lambda(z_i'\gamma),\qquad \lambda(a) = \frac{\phi(a)}{\Phi(a)}

$\lambda$ 叫逆米尔斯比。只用可见样本直接跑 OLS，相当于遗漏了 $\lambda$ 这一项： $\rho = 0$ 时不需要纠正， $\rho \neq 0$ 且 $\lambda$ 与 $x$ 相关时 OLS 就有偏。

Heckman（1979）的两步法：先对全部观测做 probit，估计 $\gamma$ 并算出 $\hat\lambda_i$ ；再在可见样本里把 $\hat\lambda_i$ 作为一个额外的回归元放进结果方程。heckman 命令的最大似然版本则同时估计两个方程，效率更高，但对联合正态更敏感。

两步法有两个实操细节：

第二步里的 $\hat\lambda_i$ 是估计出来的，误差还有异方差，手工“probit 之后 OLS 加 IMR”得到的标准误不对。heckman, twostep 报告的标准误已经按 Heckman（1979）修正过。
逆米尔斯比的系数是 $\rho\sigma$ 。它显著，说明选择方程和结果方程的误差相关，也就是样本选择确实存在（命令还会报告 $\rho$ 和 $\sigma$ ，最大似然版本附带一个 $\rho=0$ 的似然比检验）。

一个模拟

2000 个个体， $x$ 和 $z$ 的相关系数 0.5，选择方程 $s = \mathbf 1\{0.3 + 0.5x + z + u > 0\}$ ，约 57% 的观测可见；结果方程 $y = 1 + 1.0\,x + \varepsilon$ ，真实系数 1， $\varepsilon$ 与 $u$ 的相关系数 0.6。 $z$ 影响是否可见，但不进入结果方程。重复 500 次：

估计方法	系数均值	抽样标准差	报告的标准误（均值）	95% 区间覆盖率
只用可见样本做 OLS	0.836	0.032	0.032	0%
手工两步（标准误未修正）	1.003	0.040	0.039	95.6%
`heckman, twostep`	1.003	0.040	0.041	96.4%
`heckman` 最大似然	1.002	0.037	0.038	96.0%

OLS 偏低 0.16，置信区间一次也没有盖住真值；两步法和最大似然都能把它拉回来。手工两步和修正后的标准误，在这个设计里差别很小（0.039 对 0.041），但它们在原理上就不是一回事，直接用命令更省事。

一份样本上的输出（ $s=1$ 的有 1141 个）：

估计方法	$x$ 的系数	标准误	备注
OLS	0.824	0.032
`heckman, twostep`	1.027	0.042	$\hat\lambda = 0.725$ （标准误 0.093）
`heckman` 最大似然	1.016	0.037	$\hat\rho = 0.675$ ， $\rho=0$ 的似然比检验 $\chi^2(1) = 70.5$

排除变量决定一切

上面那个设计里， $z$ 是一个又强又干净的排除变量：它显著影响选择，又不直接进入结果方程。没有这样一个变量时，两步法只能靠 $\lambda$ 对 $z'\gamma$ 的非线性来区分“ $\lambda$ 的作用”和“ $x$ 的作用”，识别很脆弱。再看几组设定， $z$ 对选择的影响由强到弱，最后直接为零；还有一组是 $z$ 其实直接影响 $y$ （系数 0.3），而我们仍然把它排除在结果方程之外：

$z$ 的设定	方法	系数均值	抽样标准差	报告的标准误	覆盖率
对选择影响强（1.0）	两步	1.003	0.040	0.041	96.4%
对选择影响弱（0.3）	两步	1.003	0.064	0.067	96.2%
	两步， $z$ 也放进结果方程	1.003	0.098	0.100	96.8%
对选择没有影响（0）	两步	0.992	0.168	0.175	98.0%
	最大似然	0.953	0.107	0.054	81.0%
直接影响 $y$ （排除限制不成立）	OLS	0.924	0.031	0.031	33.2%
	两步	0.919	0.040	0.040	48.0%

几点读法：

排除变量越弱，估计越不准：抽样标准差从 0.040 涨到 0.168，四倍多。同一份“弱排除变量”的数据，如果不再承认 $z$ 是排除变量、把它也放进结果方程，标准差从 0.064 再涨到 0.098。
完全没有排除变量时（ $z$ 对选择没有影响），最大似然报告的标准误平均 0.054，真实的抽样标准差却有 0.107，均值也偏到 0.953，95% 区间只盖住真值 81% 的次数。靠分布假设来识别的时候，别信这个标准误。
排除限制不成立时，Heckman 并没有比 OLS 好：两步法均值 0.919，和 OLS 的 0.924 差不多远，覆盖率 48%。这里的偏误方向和大小取决于具体设定，不能一般地说“更差”或“更好”，但可以肯定的是：它不再是一个纠偏方法。

所以用 Heckman 之前，先要有一个能讲清楚的排除变量：影响“是否被观测到”，但不直接影响结果变量的水平。劳动经济学里常用家庭中的幼儿数量一类变量去解释是否工作，国内公司金融论文里常见的做法是拿同行业、同地区其他企业的披露比例当排除变量。后者同行业的企业往往也共同面对影响结果变量的冲击，要论证它只通过披露决策起作用，得花比跑命令多得多的篇幅。

常见的几个问题

结果变量对所有观测都有值，却用 Heckman。 上面说过，这不是样本选择问题，heckman 命令也要求结果变量对一部分观测缺失。
选择方程和结果方程的解释变量完全一样。 命令能跑，但识别只靠 $\lambda$ 的非线性，上表里“没有排除变量”的情形就是这样，标准误很大。好些论文因此出现 IMR 和主要解释变量高度共线、两个系数都不显著，这是模型本身的问题，不是代码的问题（Puhani, 2000 用蒙特卡洛比较过两步法、最大似然和只用可见样本的 OLS，专门讨论了这种共线性）。
把 IMR 是否显著当成结论。 IMR 的系数不显著，并不能说明“没有样本选择问题”，它也可能只是检验力不够；显著则只说明在这个模型设定下选择和结果的误差相关。
因变量不是连续变量。 0/1 结果用 heckprobit，计数用 heckpoisson，不要把线性的 heckman 套上去。
选择机制不满足正态。 两步法和最大似然都依赖联合正态，偏离时估计可能不稳；没有排除变量时，这个问题更严重。

没有排除变量怎么办

如果选择的原因是随机试验里的样本流失（比如培训后只能追踪到一部分人的工资），Lee（2009）的界不需要排除变量，只要求处理对“是否被追踪到”的影响是单调的，给出的是处理效应的区间，不是点估计。Stata 里对应 leebounds（SSC）。得到的区间往往很宽，但至少没有借助一个无法检验的排除变量就给出点估计。

代码

* y 对没被选中的观测是缺失值；s 是 0/1 的选择指示变量
* z 只出现在选择方程里（排除变量）
heckman y x, select(s = x z) twostep      // 两步法，报告修正后的标准误
heckman y x, select(s = x z)              // 最大似然，附 rho = 0 的似然比检验

手工两步（只用来理解，标准误不要用）：

probit s x z
predict double xb, xb
gen double imr = normalden(xb) / normal(xb)
reg y x imr                               // 只在 y 非缺失的样本里估计

第一张表的模拟代码如下（这里只保留了表里用到的几项估计；最大似然版本的 heckman 在个别样本上可能不收敛，我跑的 500 次都收敛了）：

capture program drop onesim
program define onesim, rclass
    clear
    set obs 2000
    gen x = rnormal()
    gen z = 0.5*x + sqrt(0.75)*rnormal()
    gen u = rnormal()
    gen e = 0.6*u + 0.8*rnormal()
    gen s = (0.3 + 0.5*x + 1.0*z + u > 0)
    gen y = 1 + 1.0*x + e
    replace y = . if s == 0
    quietly reg y x
    return scalar b_ols = _b[x]
    quietly probit s x z
    quietly predict double xb, xb
    quietly gen double imr = normalden(xb)/normal(xb)
    quietly reg y x imr
    return scalar b_man = _b[x]
    quietly heckman y x, select(s = x z) twostep
    return scalar b_h2 = _b[y:x]
    return scalar se_h2 = _se[y:x]
    quietly heckman y x, select(s = x z)
    return scalar b_ml = _b[y:x]
end
simulate b_ols=r(b_ols) b_man=r(b_man) b_h2=r(b_h2) se_h2=r(se_h2) b_ml=r(b_ml), ///
    reps(500) seed(20261003) nodots: onesim
summarize

参考文献

Heckman, J. J. (1979). Sample selection bias as a specification error. Econometrica, 47(1), 153–161.
Lee, D. S. (2009). Training, wages, and sample selection: Estimating sharp bounds on treatment effects. Review of Economic Studies, 76(3), 1071–1102.
Puhani, P. (2000). The Heckman correction for sample selection and its critique. Journal of Economic Surveys, 14(1), 53–68.